Matematica apare Ón toate domeniile inginereºti ºi este esen˛ial ca absolven˛ii unei facult„˛i tehnice s„ Ón˛eleag„ c‚t mai multe concepte ºi s„ Ónve˛e s„ le aplice cu succes Ón problemele de inginerie. Matematica, Ón interdependen˛„ cu alte discipline: fizica, chimia, tehnologia, informatica, economia, biologia, medicina, ºtiin˛ele umane, ocup„ ast„zi o pozi˛ie important„ Ón lumea ºtiin˛ific„ ºi Ón economia modern„. Matematica are un rol esen˛ial Ón dezvoltarea instrumentelor de modelare folosite de aproape toate disciplinele, ºi este omniprezent„ Ón societatea contemporan„ hipertehnologizat„ (de exemplu, aritmetica este aplicat„ Ón metodele de codare ºi criptare, ecua˛iile cu derivate par˛iale - Ón prognozele meteo, calculul probabilit„˛ilor ºi statistica - Ón finan˛e, analiza Fourier ºi calculul opera˛ional - Ón mecanica undelor, electrotehnic„). Numeroase profesii presupun cunoºtin˛e de matematic„. Ne Óntreb„m care este rolul matematicii Ón acest context. Emanuel Kant spunea c„ ìo ºtiin˛„ con˛ine at‚ta ºtiin˛„ c‚t„ matematic„ con˛ine Ón eaî. Nimic mai adev„rat ºi Ón cazul de fa˛„! Oare se pot acorda premii Nobel Ón economie, fizic„, chimie f„r„ ca teoria enun˛at„ s„ aib„ o fundamentare matematic„, o modelare ºtiin˛ific„ sub form„ algoritmic„ riguroas„?

MATEMATICI SPECIALE PENTRU INGINERI

1. FUNCfiII COMPLEXE 1.1 Numere complexe 1.1.1 Introducere. Forma algebric„ Mul˛imea numerelor complexe a ap„rut din necesitatea extinderii mul˛imii numerelor reale  astfel ca orice ecua˛ie de gradul al doilea s„ aib„ solu˛ii Ón noua mul˛ime. Fie 2  produsul cartezian al perechilor ordonate  x, y de numere reale, adic„    2   x, y x , y  . Pe mul˛imea 2  se definesc dou„ opera˛ii algebrice interne, adunarea ºi Ónmul˛irea, astfel:       1 1 2 2 1 2 1 2 x , y  x , y  x  x , y  y , (1.1.1)       1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x , y  x , y  x x  y y , x y  x y . (1.1.2) Aºadar, prin mul˛imea  a numerelor complexe vom Ón˛elege tripletul   2  ,, . Mul˛imea  Ónzestrat„ cu cele dou„ opera˛ii are o structur„ de corp comutativ. Elementele corpului  se numesc numere complexe. Un element al corpului  se va nota prin z , z  , z   x, y , cu x, y  . Elementele neutre ale corpului  sunt 0  0,0 ºi 1  1,0 . (1.1.3) Elementul z  x, y (1.1.4) este opusul elementului z , iar 1 2 2 2 2 , x y z x y x y            (1.1.5) este inversul lui z ºi se noteaz„ 1 z . Num„rul complex 0,1 a fost notat de Euler cu i ºi se numeºte unitatea imaginar„. Avem